Las integrales dobles son una extensión del concepto de integral a funciones de dos variables, y permiten sumar valores de una función f(x,y) sobre una región R en el plano XY para obtener quantities como áreas o volúmenes. Qué son

• Definición esencial: una integral doble de una función f(x,y) sobre una región R se denota normalmente como ∫∫_R f(x,y) dx dy (o dy dx). Se interpreta como la suma continua de valores de f sobre todos los puntos de R, tomando pequeñas celdas rectangulares dx por dy como prisas infinitesimales. Equivale al volumen debajo de la superficie z = f(x,y) sobre la región R en el plano xy cuando f toma valores no negativas.

• Representaciones equivalentes: la integral doble puede evaluarse en dos órdenes (iteradas) usando el teorema de Fubini. Es decir, ∫∫_R f(x,y) dx dy puede escribirse como ∫_{a}^{b} (∫_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy) dx o ∫_{c}^{d} (∫_{a(y)}^{b(y)} f(x,y) dx) dy, dependiendo de la forma de la región R y de la función. Esto facilita su cálculo cuando la región o la función se simplifican con un cambio de orden de integración.

Cómo se aplica

• Regiones rectangulares: si R es un rectángulo [a,b] × [c,d], la integral doble se evalúa como ∫_{x=a}^{b} ∫_{y=c}^{d} f(x,y) dy dx o en el orden inverso. En estas situaciones, a menudo se puede factorizar la función o usar técnicas de integración conocidas para cada variable por separado.

• Regiones generales: para regiones no rectangulares, conviene describir R con límites adecuados, por ejemplo R = { (x,y) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x) } o similares. En estos casos, la integral toma la forma ∫_{x=a}^{b} ∫_{y=g1(x)}^{g2(x)} f(x,y) dy dx, o utilizando la descomposición de R en regiones más simples.

• Cálculo de áreas y volúmenes: las integrales dobles permiten calcular áreas de regiones planas y volúmenes de sólidos por debajo de superficies; por ejemplo, el área de una región A puede obtenerse integrando 1 sobre R, y el volumen bajo z = f(x,y) sobre R es ∫∫_R f(x,y) dx dy. Estas aplicaciones son fundamentales en física e ingeniería.

• Cambios de coordenadas: para regiones que se adaptan mejor a coordenadas polares, cilíndricas o esféricas, se puede usar el cambio de variables adecuado con el Jacobiano correspondiente. Esto simplifica frecuentemente la evaluación de la integral doble.

Ejemplos típicos

• Volumen bajo z = x^2 + y^2 sobre el cuadrado R = ×: ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} (x^2 + y^2) dy dx. Esta configuración ilustra cómo se suman contributions de la altura f(x,y) sobre cada pequeño rectángulo en R.

• Área de una región circular mediante coordenadas polares: si R es una región circular, conviene expresar la integral como ∫∫_R 1 dA = ∫_{θ} ∫_{r} r dr dθ, donde dA = r dr dθ es el Jacobiano, y los límites de r y θ describen la región.

Notas útiles

• Teorema de Fubini: para funciones adecuadas y regiones cartesianas, la integral doble puede evaluarse en cualquiera de los dos órdenes de integración. Este teorema justifica la práctica de elegir el orden de integración que simplifique los cálculos.

• Interpretación geométrica: la integral doble generaliza la suma de áreas (cuando f ≡ 1) y la suma de volúmenes (cuando f representa la altura) sobre R, extendiendo la noción de integral definida a dimensiones superiores.

Si quieres, puedo darte un ejemplo concreto con una región y una función específicas, o explicarte paso a paso cómo resolver una integral doble usando el orden de integración que resulte más cómodo.