Respuesta directa: Entre 1 y 100, hay 20 números cuyo cuadrado termina en 1. Explicación breve:

• Un cuadrado termina en 1 si y solo si el número original termina en 1 o en 9 (porque 1^2 = 1 y 9^2 = 81).
• Por cada decena de 0 a 9 (es decir, para los números que terminan en 1 o en 9 dentro de 1–100), hay exactamente 2 números: uno en la decena correspondiente que termina en 1 y otro que termina en 9.
• En el rango 1–100 hay 10 decenas completas (0–9, 10–19, ..., 90–99) más el 100, pero 100 no termina en 1 ni en 9 al cuadrado (100^2 termina en 00), así que se cuentan solo las decenas que contienen números que terminan en 1 o 9.
• Por cada decena (excepto la decimación que contiene 100), hay 2 números que terminan en 1 o 9: por ejemplo 1 y 9, 11 y 19, 21 y 29, ..., 91 y 99. Eso da 10 pares, es decir, 20 números.

Si quieres, puedo mostrar el conteo por cada decena para verificar.